PRÄSENZ im WiSe 21/22: Geometrie der Fahnenmannigfaltigkeit - Einzelansicht

Die Vorträge werden in einer Vorbesprechung in der Woche vom 11. Oktober verteilt. Der Termin wird via Doodle fixiert.

(1) Ein Abschnitt aus der Vorlesung von Prof. Littelmann ``Algerbraische Gruppen":

Fahnen und klassische Gruppen

(2) W. Fulton und J. Harris, ``Representation theory", a first course, Springer-Verlag New York. 

(3) A.W. Kanpp, ``Lie groups beyond an introduction", Birkhäuser Basel. 

(4) ``Lectures on D-Moduls" von Prof. Ginzburg: Skript. 

Lineare Algebra ist notwendig, von Vorteil sind Kenntnisse über Lie-Theorie oder Differentialgeometrie.

Vortrag und schriftliche Ausarbeitung

Eine Fahnenmannigfaltigkeit besteht aus Ketten von Unterräumen eines endlich-dimensionalen Vektorraums. Einfachste Beispiele sind der projektive Raum oder allgemeiner die Grassmann-Mannigfaltigkeit. Fahnenmannigfaltigkeiten spielen eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie, der Darstellungstheorie und der algebraischen Geometrie. In diesem Seminar wollen wir ausgehend von der Definition und elementaren Eigenschaften die Geometrie der Fahnenmannigfaltigkeit kennenlernen. Mögliche Themen:

    • Ketten von Unterräumen und elementare Eigenschaften der Fahnenmannigfaltigkeit
    • klassische Gruppen wie etwa die GL(n), SL(n) und SO(n) und ihre homogenen Räume
    • projektive Varietäten: Definition und Beispiele; Grassmann-Mannigfaltigkeit und Plücker-Koordinaten
    • Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten
    • invariante Differentialoperatoren und die einhüllende Algebra
    • Darstellungstheorie von Lie-Algebren und D-Moduln
    • Satz von Beilinson-Bernstein über D-Moduln auf Fahnenmannigfaltigkeiten mit Anwendungen